Znalost

Jak započítat polynom druhého stupně (rovnice druhého stupně)

Posted on
Autor: Monica Porter
Datum Vytvoření: 17 Březen 2021
Datum Aktualizace: 1 Červenec 2024
Anonim
Jak započítat polynom druhého stupně (rovnice druhého stupně) - Znalost
Jak započítat polynom druhého stupně (rovnice druhého stupně) - Znalost

Obsah

V tomto článku: Pokračujte pokusem a omylemPostupujte rozkladem „Trojitá hra“ Rozdíl dvou čtvercůV použití kvadratického vzorcePoužití kalkulačky

Polynom je složen z proměnné (x) zvýšené na určitou mocnost zvanou stupeň polynomu a několik dalších termínů nižších stupňů a / nebo několika dalších konstant. Faktorizovat polynomial druhého stupně (také nazývaný „kvadratická rovnice“) znamená redukovat počáteční výraz na součin výrazů menších stupňů, které pak mohou být navzájem násobeny. Tyto znalosti jsou součástí středoškolského kurzu a další, takže tento článek může být obtížné pochopit, pokud ještě nemáte požadovanou úroveň matematiky.


stupně

Začněte



  1. Napište svůj výraz. Standardní forma rovnice druhého stupně je:

    ax + bx + c = 0
    Začněte uspořádáním podmínek vaší rovnice podle pořadí sil, od největší po nejmenší, jako ve standardní formě. Vezměte například:

    6 + 6x + 13x = 0
    Uspořádáme tento výraz, abychom práci usnadnili pouhým přesunutím výrazů:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Vyhledejte faktorizovaný formulář pomocí jedné z metod vysvětlených níže. Faktorizace dá dva kratší výrazy, které dají počáteční polynom, pokud je vynásobíme jeden po druhém:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    V tomto příkladu jsou (2x +3) a (3x + 2) faktory počáteční exprese, 6x + 13x + 6.




  3. Zkontrolujte svou práci! Vynásobte faktory, které jste identifikovali. Pak zkombinujte podobné termíny a budete hotovi. Začněte s:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Začněme testováním tohoto výrazu vynásobením podmínek těchto dvou výrazů:

    6x + 4x + 9x + 6
    Odtud můžeme přidat 4x a 9x, protože se jedná o termíny stejné míry. Víme tedy, že naše faktory jsou správné, protože se dostáváme k výrazu odchodu:

    6x + 13x + 6.

Metoda 1 Pokračujte pokusem a chybou

Pokud pracujete s poměrně jednoduchým polynomem, měli byste být schopni na první pohled najít jeho rozklad jako faktorový produkt. Například mnoho matematiků je schopno tento výraz vidět 4x + 4x + 1 dává faktory (2x + 1) a (2x + 1) podle zvyku a se zkušeností (zjevně to není tak jednoduché v případě složitých polynomů). V tomto příkladu pojďme méně běžný výraz:


3x + 2x - 8

.



  1. Vytvořte seznam faktorů koeficientů má a C. Použití výrazu formuláře ax + bx + c = 0, identifikujte koeficienty má a C a uveďte odpovídající faktory. Pro: 3x + 2x - 8 to dává:

    a = 3 a má pouze jeden pár faktorů: 1 * 3
    c = -8 a čtyři páry faktorů: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 a -1 * 8 ..



  2. Na svůj kus papíru napište dva páry závorek s mezerou, do kterých můžete psát. Do zadaného prostoru zadáte konstanty pro každý výraz:

    (x) (x).



  3. Před x napište dvojici možných faktorů pro koeficient má. Pro koeficient má v našem příkladu 3x existuje pouze jedna možnost:

    (3x) (1x).



  4. Poté vyplňte zbývající dva prázdné mezery koeficienty pro koeficient C. Vezměte si například 8 a 1. Napište je:

    (3x8) (X1).



  5. Nyní rozhodněte o znamení (více nebo méně) mezi x a číslo, které jste za ním umístili. Podle znamení původního výrazu je možné najít, jaké by měly být znaky konstant. volání hod a k konstanty našich faktorů:

    Pokud ax + bx + c, pak (x + h) (x + k)
    Pokud ax - bx - c nebo ax + bx - c, pak (x - h) (x + k)
    Pokud ax - bx + c, pak (x - h) (x - k)
    V našem příkladu 3x + 2x - 8 musí být značky umístěny následujícím způsobem: (x - h) (x + k), což nám dává následující dva faktory:

    (3x + 8) a (x - 1).



  6. Zkontrolujte svůj faktorizovaný formulář přepracováním. Prvním rychlým testem je ověření, zda má střednědobý termín správnou hodnotu. Pokud x není dobré, možná jste pro koeficient vybrali nesprávný pár faktorů C, Podívejme se na naše výsledky:

    (3x + 8) (x - 1)
    Vynásobením získáme:

    3x - 3x + 8x - 8
    Přidáním podobných výrazů (-3x) a (8x) pro zjednodušení tohoto výrazu získáme:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Nyní víme, že jsme pravděpodobně identifikovali nesprávné faktory:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. V případě potřeby si vyměňte výběr faktorů. V našem příkladu vyzkoušejte 2 a 4 místo 1 a 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Nyní náš koeficient C je -8, ale násobení (3x * -4) a (2 * x) dává -12x a 2x, které navíc ne vždy dávají počáteční hodnotu b, to je + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. V případě potřeby obráťte objednávku. V našem příkladu převracíme místo 2 a 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Nyní koeficient C je vždy dobrá, ale koeficienty výrazů v x mají tentokrát hodnotu -6x a 4x. Po přidání získáte:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Jsme velmi blízko k počáteční hodnotě 2x, kterou se snažíme najít, ale znaménko není dobré.



  9. V případě potřeby znovu zkontrolujte značky. Nyní si zachováme stejné pořadí, ale vyměníme si znamení:

    (3x - 4) (x + 2)
    Koeficient předtím C je vždy dobrá a výrazy v x mají nyní hodnotu (6x) a (-4x). Od:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Takže dostaneme 2x, co jsme původně měli. Pravděpodobně jsme tedy našli správné faktory.

Metoda 2 Pokračujte rozkladem

Tato metoda nám umožní identifikovat všechny možné faktory pro získání koeficientů má a C a použijte je k určení, které faktory jsou ty správné. Pokud jsou čísla velmi velká nebo se jiné metody pokusu a omylu zdají příliš dlouhé, můžete tuto metodu použít. Vezměte následující příklad:

6x + 13x + 6

.



  1. Vynásobte koeficient má koeficientem C. V našem příkladu má se rovná 6 a C je rovna 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Najděte koeficient b faktorováním a poté testováním získaných faktorů. Hledáme dvě čísla, která jsou faktory produktu má * C které jsme identifikovali a jejichž součet stojí za hodnotu koeficientu „b“ (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Představte dvě čísla, která jste právě dostali do své rovnice; umístěte je před x, aby jejich součet byl roven koeficientu b. Vezměme si dopisy k a hod reprezentovat dvě získaná čísla, 4 a 9:

    ax + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Faktorem vašeho polynomu je seskupení. Uspořádejte rovnici tak, abyste našli největší společný faktor prvních dvou členů a největší společný faktor posledních dvou členů. Pak byste měli získat součet dvou identických faktorových formulářů. Sečtěte dva koeficienty dohromady a dejte je do závorek před vaši faktorovanou formu; pak dostanete své dva faktory:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

Metoda 3 „Trojitá hra“

Tato metoda je velmi podobná předchozí. To spočívá v prozkoumání možných faktorů pro produkty koeficientů má a C, použijte je k nalezení hodnoty b, Vezměme například následující rovnici:

8x + 10x + 2



  1. Vynásobte koeficient má koeficientem C. Stejně jako u metody rozkladu nám to pomůže identifikovat potenciální kandidáty na koeficient b, V našem příkladu má se rovná 8 a C má hodnotu 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Najděte dvě čísla, jejichž součinem je číslo, které bylo právě nalezeno (16) a jejichž součet udává koeficient "b". Tento krok je totožný s krokem metody rozkladu - tj. Testujeme a odmítáme kandidáty na konstanty. Součin koeficientů má a C je rovna 16 a koeficient C se rovná 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Vezměte si tato dvě čísla a nahraďte je ve vzorci „triple play“. Vezměte si dvě čísla z předchozího kroku - zavolejme jim hod a k - a představte je v následujícím výrazu:

    ((ax + h) (ax + k)) / a

    Pak dostaneme:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Zjistěte, který z parentetických výrazů v čitateli je dělitelný koeficientem má. V tomto příkladu testujeme, zda (8x + 8) nebo (8x + 2) lze vydělit 8. (8x + 8) je dělitelné 8, pak tento výraz vydělíme má a nechat druhý výraz tak, jak je.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Výraz, který zde uchováváme, je ten, který zůstane po dělení koeficientem má : (x + 1).



  5. Najděte - pokud existuje - větší společný faktor v obou závorkách. V našem příkladu má druhá exprese větší společný faktor 2, protože 8x + 2 = 2 (4x + 1). Zkombinujte tuto odpověď s výrazem, který jste našli v předchozím kroku. Našli jste tedy dva faktory svého polynomu.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Metoda 4 Rozdíl dvou čtverců

Některé koeficienty polynomů lze identifikovat jako „čtverce“, to znamená produkty násobení dvou čísel. Identifikací těchto čtverců můžete ovlivnit některé polynomy mnohem rychleji. Vezměme si například rovnici:

27x - 12 = 0



  1. Začněte tím, že všechno započítáte do většího společného faktoru, pokud je to možné. V našem příkladu vidíme 27 a 12, z nichž oba jsou dělitelné 3, takže můžeme „prasknout“ počáteční výraz takto:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Určete, zda jsou koeficienty vaší rovnice na druhou mocninu. Chcete-li použít tuto metodu, měli byste mít možnost najít pro své koeficienty druhé odmocniny (mějte na paměti, že nepovažujeme záporné znaky - protože jednáme o čtverce, mohou být součinem dvou kladných čísel nebo negativní)

    9x = 3x * 3x a 4 = 2 * 2.



  3. Pomocí čtvercových kořenů, které jste našli, napište své faktory. Vezměte hodnoty má a C dříve nalezeno - má = 9 a C = 4 - před nalezením jejich druhé odmocniny - √má = 3 a √C = 2. Toto budou koeficienty našich faktorových výrazů:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 Použití kvadratického vzorce

Pokud všechny výše uvedené metody selhaly a nemůžete najít správné faktory pro vaši rovnici, použijte kvadratický vzorec. Vezměte následující příklad:

x + 4x + 1 = 0



  1. Vezměte hodnoty koeficientů "a", "b" a "c" a nahraďte je v následujícím kvadratickém vzorci:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Pak dostaneme výraz:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Vyřešte rovnici a najděte x. Jak vidíte výše, měli byste získat dvě hodnoty x:


    x = -2 + √ (3) nebo x = -2 - √ (3).



  3. Použijte hodnotu x k nalezení faktorů. Hodnoty x získané dříve zadejte jako konstanty dvou polynomických výrazů. To budou vaše faktory. volání hod a k hodnoty x a napište dvě faktorované formy:

    (x - h) (x - k)
    V tomto případě je konečný výsledek:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

Metoda 6 Použití kalkulačky

Pokud máte dovoleno používat grafickou kalkulačku, uvědomte si, že to výrazně usnadní váš úkol, zejména během zkoušek. Tyto pokyny platí pouze pro grafické kalkulačky značky Texas Instrument. Vezměme například následující rovnici:

y = x - x - 2



  1. Do kalkulačky zadejte rovnici. Budete muset použít "resolverovou rovnici", tedy obrazovku.



  2. Vytvořte grafické znázornění vaší rovnice na kalkulačce. Po zadání rovnice stiskněte - měli byste vidět grafické znázornění křivky (přesněji dostanete „oblouk“, protože pracujete na polynomech).



  3. Najděte průsečíky oblouku s osou x (x). Protože polynomiální rovnice jsou tradičně psány ve formě: ax + bx + c = 0, jedná se o dvě hodnoty x, pro které je výraz roven nule:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Pokud nemůžete přečíst hodnoty, kde křivka protíná osu x, stiskněte tlačítko. Stiskněte nebo vyberte „nula“. Přesuňte kurzor vlevo od jedné z křižovatek a stiskněte. Poté přesuňte kurzor napravo od této křižovatky a stiskněte znovu. Poté přesuňte kurzor co nejblíže k průsečíku a stiskněte znovu. Kalkulačka najde hodnotu x. Udělejte totéž pro další křižovatku.



  4. Nakonec zavedeme hodnoty x získané v předchozím kroku do dvoufaktorové exprese. Pokud zavoláme hod a k naše dvě hodnoty x, pak použijeme následující výraz:

    (x - h) (x - k) = 0
    A tak získáme následující dva faktory:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Tužka
  • Papír
  • Rovnice druhého stupně (nebo kvadratická rovnice)
  • Grafická kalkulačka (volitelné)