Znalost

Jak faktor trinomial

Posted on
Autor: Monica Porter
Datum Vytvoření: 16 Březen 2021
Datum Aktualizace: 1 Červenec 2024
Anonim
Example 1: Factoring trinomials with a common factor | Algebra II | Khan Academy
Video: Example 1: Factoring trinomials with a common factor | Algebra II | Khan Academy

Obsah

V tomto článku: Naučte se faktorizovat x2 + bx + Naučte se faktorovat komplikovanější trinomie Některé speciální případy trinomiální faktorizace6 Odkazy

Jak jeho název napovídá, trinomial je matematický výraz, který má podobu součtu tří termínů. Nejčastěji začneme studovat trinomiály druhého stupně, které se tedy předepisují: ax + bx + c. Existuje několik způsobů, jak faktorizovat trinomial druhého stupně. S praxí se tam dostanete bez problémů. Metody, které uvidíme, se nevztahují na trinomiály vyššího stupně (s x nebo x). Avšak prací těchto posledních trinomiků se lze opřít o trinomiály druhého stupně. To vše vidíme podrobně.


stupně

Část 1 Naučit se faktorizovat x + bx + c



  1. Použijte metodu SIDS. Možná to víte, ale vzpomeňme si, o co jde. Když musíte například vyvinout produkt binomiků - (x + 2) (x + 4) - musíte součet produktů různých termínů v pořadí „První, Externí, Interní, Poslední“. Podrobně to poskytuje:
    • znásobit první termíny mezi nimi:x+2)(x+4) = x + __
    • znásobit podmínky externí mezi nimi: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • znásobit podmínky interní mezi nimi: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • znásobit nejnovější termíny mezi nimi: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Dokončete zjednodušením: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Pochopte, co je to faktorizace. Při vývoji produktu dvou párů získáte trinomál tvaru: máx +bx +C, a, b a c jsou reálná čísla. Když provedeme obrácenou operaci, jdeme od trinomialu k binomickému produktu, říkáme, že my factorises.
    • V zájmu jasnosti musí být termíny trinomií řazeny podle klesající moci. Pokud vám tedy dáme: 3x - 10 + x, musíte přepsat v tomto pořadí: x + 3x - 10.
    • Největším exponentem je 2 (x), mluvíme o trinomiali „druhého stupně“.



  3. Na začátku faktorizace jsme dali produktovou formu binomií. Napište: (__ __)(__ __), Postupně vyplníme volné prostory a znaky.
    • V tuto chvíli mezi dva termíny binomiků nevkládáme žádné znaménko (+ nebo -).




  4. Musíte začít hledáním prvních podmínek každého páru. Pokud váš trinomial začíná na x, budou nutně nutné první dva členy dvojic x a xprotože x krát x = x.
    • Naše počáteční trojice je: x + 3x - 10 a protože neexistuje koeficient v x, můžeme okamžitě napsat:
    • (x __) (x __)
    • Uvidíme, jak se postupuje, když se koeficient x liší od 1, například 6x nebo -x. Momentálně nám tento jednoduchý případ zbývá.



  5. Pokuste se uhádnout, jaké budou poslední podmínky párů. Podívejte se, jak byly pomocí metody PEID vyvinuty poslední podmínky dalekohledů. Nyní musíme udělat pravý opak. Pak jsme vynásobili poslední dva členy, abychom získali poslední člen ("konstanta") trinomialu. Takže budete muset najít dvě čísla, která, násobená mezi nimi, vám dá konstantu trojice.
    • V našem příkladu: x + 3x - 10 je konstanta -10.
    • Jaké jsou faktory -10? Jaká dvě čísla vám vynásobí, -10?
    • Zde jsou všechny možné případy: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 a 2 x -5. Napiš tyto kombinace někde, abys si pamatoval.
    • Zatím je váš binomický produkt nezměněn. Vždy vypadá: (x __) (x __).



  6. Vyzkoušejte různé kombinace. Z konstanty se vám podařilo identifikovat některé kombinace faktorů, které musí fungovat (pokud je trinomial redukovatelný). V tomto okamžiku neexistují žádná jiná řešení, než otestovat každou kombinaci, aby se zjistilo, zda jedno z nich splňuje trinomial. Například:
    • V našem příkladu musí být součet produktu „Externí“ a produktu „Interní“ 3x (převzato z x + 3x - 1)
    • Vezměte kombinaci -1 a 10: (x - 1) (x + 10). Součet produktu „External“ a produktu „Internal“ dává: 10x - x = 9x. Nefunguje to!
    • Vezměte kombinaci 1 a -10: (x + 1) (x - 10). Součet produktu "External" a produktu "Internal" dává: -10x + x = -9x. Stále to nejde! Při přechodu si všimnete, že tato poslední kontrola byla zbytečná. Opravdu pár (-1,10) dává 9x a pár (1, -10) dává -9x. Takže jen vyzkoušejte jeden pár.
    • Vezměte kombinaci -2 a 5: (x - 2) (x + 5). Součet produktu "External" a produktu "Internal" dává: 5x - 2x = 3x. Eureka! Odpověď zní: (x - 2) (x + 5).
    • V případě jednoduchých trinomiků (od x) můžeme udělat kratší. Stačí přidat dva potenciální faktory, na konec přidat „x“ a hned uvidíte, jestli je to správná kombinace. Zde to děláte: -2 + 5 → 3x. Pokud je x lemováno koeficientem, pak metoda nefunguje, proto je dobré si pamatovat podrobnou metodu.

Část 2 Naučit se faktorovat komplikovanější trinomiály



  1. Rozdělte svůj trinomial na jednodušší trinomial. Předpokládejme, že musíte faktorizovat následující trinomiální: 3x + 9x - 30, Pokuste se zjistit, zda neexistuje dělitel společný pro všechny tři termíny. Pak vezmeme největší (pokud jich je několik), ze kterého se jmenuje „Největší společný dělitel“ (nebo PGCD). V naší trojici to bude 3. Podívejme se na to podrobně:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Tedy 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Je tedy snadné faktorovat druhou závorku podle výše popsané metody. Získáme následující: (3) (X-2) (x + 5), Nesmíme zapomenout na 3 dát do faktoru.



  2. Někdy nemůžeme činit reálná čísla, ale množství s neznámými. Můžeme tedy zohlednit "x", "y" nebo "xy". Zde je několik příkladů:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Potom, samozřejmě, faktor nové trinomial, jak jsme viděli dříve. Proveďte kontrolu, zda nejsou žádné chyby. Procvičte si cvičení navržená na konci tohoto článku.



  3. Pokuste se faktorizovat trinomiály s x lemovaným koeficientem. Některé trinomiály druhého stupně je obtížnější faktorizovat, obrázek 3x + 10x + 8. Uvidíme, jak postupujeme, pak to, co můžete trénovat pomocí cvičení navržených na konci článku. Takto fungujeme:
    • Zeptejte se produktu párů: (__ __)(__ __)
    • Každý ze dvou výrazů „První“ musí mít „x“ a součin obou musí být 3x. Existuje pouze jedna možnost: (3x __) (x __), 3 je prvočíslo.
    • Najděte faktory 8. Existují dvě možnosti: 1 x 8 nebo 2 x 4.
    • Použijte tyto kombinace k nalezení konstant párů. Důležitý bod: protože neznámé "x" má různé koeficienty, je důležité pořadí kombinace. Zde musíte najít konec středu, 10x. Zde jsou různé kombinace:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x ne!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x ne!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x ne!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ano! Toto je správná faktorizace.



  4. V přítomnosti neznámého, který má sílu větší než 2, lze vytvořit neznámou substituci. Jednoho dne budete určitě muset faktorizovat trinomial čtvrtého (x) nebo pátého stupně (x). Cílem je přivést tento trinomial zpět k něčemu, co je známo, tj. K trinomiálnímu stupni druhého stupně, aby bylo možné bez problémů faktorizovat. Například:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Vymyslet nový neznámý, který problém zjednoduší. Dáme sem, že Y = x. Dali jsme kapitál Y, abychom si uvědomili, že je to náhrada. Trinomial se pak stává:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): faktorizujeme jako v části 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Je čas nahradit neznámou substituci její skutečnou hodnotou:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Část 3 Některé zvláštní případy trinomializace



  1. Hledejte možná prvočísla. Podívejte se, zda konstanta a / nebo koeficient prvního nebo třetího termínu nebudou prvočísla. Připomeňme, že číslo je považováno za „prvotřídní“, pokud je dělitelné pouze 1 nebo samotným. Vycházíme-li z této definice, pokud najdeme prvočíslo na výše uvedených místech, může trinomiální faktor činit pouze ve formě jediného produktu binomiků.
    • Například v x + 6x + 5 konstanta 5 je prvočíslo, takže binomický produkt bude mít podobu: (__ 5) (__ 1)
    • V 3x + 10x + 8 koeficient 3 je prvočíslo, takže součin binomiků bude mít podobu: (3x __) (x __).
    • Konečně, v 3x + 4x + 1, 3 a 1 protože prvočísla, jediné možné řešení je: (3x + 1) (x + 1). Vždy však zkontrolujte kombinaci. Stává se, že některé trinomiály nelze faktorovat. Tedy 3x + 100x + 1 nemůže být faktorováno (říkáme, že je „ireducibilní“). Se 3 a 1 nikdy nedostanete 100.



  2. Člověk musí vždy myslet na případ trojice, která by byla vývojem pozoruhodné identity, dokonalého čtverce, jenž by vzal tento příklad. Pod dokonalým čtvercem se rozumí produkt dvou dokonale identických párů: (x + 1) (x + 1), které píšeme (x + 1). Zde jsou některé z těchto dokonalých čtverců:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) a x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) a x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) a x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Trinomial máx + bx + C je vývoj dokonalého čtverce, pokud má a C jsou sami pozitivní čtverečky (jako 1, 4, 9, 16, 25 ...) a pokud b (kladné nebo záporné) se rovná 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Zjistěte, zda je možné faktorizovat. Ve skutečnosti, II jsou trinomials, které nemohou být factored. Pokud se snažíte faktorovat trinomial druhého kanonického tvaru ax + bx + c, protože neexistují žádné zjevné kořeny, musíte použít diskriminační (Δ) metodu. Ta se vypočte takto: Δ = √b - 4ac. Je-li Δ <0, pak nelze trinomiální faktorovat.
    • U trinomiků, které nejsou druhým stupněm, použijte Eisensteinovo kritérium vysvětlené v části „Tipy“.